Correction de l’exercice 33 — Suite récurrente linéaire d’ordre deux — Al Moufid

Correction de l’exercice 33 — Suite récurrente linéaire d’ordre deux

Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Énoncé :

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=0, \qquad u_1=2 \] et : \[ u_{n+2} = 7u_{n+1}+8u_n \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ S_n=u_{n+1}+u_n. \] Montrer que la suite \((S_n)\) est géométrique, puis en déduire l’expression de \(S_n\) en fonction de \(n\).

2. On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ v_n=(-1)^nu_n \qquad\text{et}\qquad t_n=v_{n+1}-v_n. \] Exprimer \(t_n\) en fonction de \(S_n\).

3.a) Déterminer la somme : \[ t_0+t_1+\cdots+t_{n-1} \] en fonction de \(n\), puis en déduire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).

3.b) Déterminer : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{2^n}. \]

1. Étude de la suite \((S_n)\)

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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :

\[ S_n=u_{n+1}+u_n. \]

Calculons \(S_{n+1}\) :

\[ \begin{aligned} S_{n+1} &= u_{n+2}+u_{n+1}\\ &= 7u_{n+1}+8u_n+u_{n+1}\\ &= 8u_{n+1}+8u_n\\ &= 8(u_{n+1}+u_n). \end{aligned} \]

Or :

\[ u_{n+1}+u_n=S_n. \]

Donc :

\[ \boxed{ S_{n+1}=8S_n. } \]

La suite \((S_n)\) est donc géométrique de raison :

\[ \boxed{q=8}. \]

Calculons son premier terme :

\[ S_0 = u_1+u_0 = 2+0 = 2. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ S_n=2\cdot8^n. } \]

Idée utile :
La combinaison \(u_{n+1}+u_n\) est choisie de manière à faire apparaître le même facteur devant \(u_{n+1}\) et \(u_n\) : \[ u_{n+2}+u_{n+1} = 8u_{n+1}+8u_n. \]

2. Expression de \(t_n\) en fonction de \(S_n\)

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On a :

\[ v_n=(-1)^nu_n \]

et :

\[ t_n=v_{n+1}-v_n. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} t_n &= (-1)^{n+1}u_{n+1} - (-1)^nu_n\\ &= (-1)^n \left( -u_{n+1}-u_n \right)\\ &= (-1)^{n+1} \left( u_{n+1}+u_n \right). \end{aligned} \]

Comme :

\[ S_n=u_{n+1}+u_n, \]

on obtient :

\[ \boxed{ t_n=(-1)^{n+1}S_n. } \]

En utilisant :

\[ S_n=2\cdot8^n, \]

on obtient :

\[ \boxed{ t_n = 2(-1)^{n+1}8^n. } \]

On peut également écrire :

\[ \boxed{ t_n=-2(-8)^n. } \]

La suite \((t_n)\) est donc géométrique de premier terme :

\[ t_0=-2 \]

et de raison :

\[ -8. \]

3. Somme télescopique et expression de \(u_n\)

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3.a) Calcul de \(t_0+t_1+\cdots+t_{n-1}\)

Pour tout entier \(n\ge1\) :

\[ t_0+t_1+\cdots+t_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1}t_k. \]

Or :

\[ t_k=v_{k+1}-v_k. \]

Donc :

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1}t_k &= \sum_{k=0}^{n-1} (v_{k+1}-v_k)\\ &= (v_1-v_0) +(v_2-v_1) +\cdots+ (v_n-v_{n-1}). \end{aligned} \]

Les termes intermédiaires se simplifient. Ainsi :

\[ \sum_{k=0}^{n-1}t_k = v_n-v_0. \]

Or :

\[ v_0 = (-1)^0u_0 = 0. \]

Donc :

\[ \boxed{ t_0+t_1+\cdots+t_{n-1}=v_n. } \]

D’autre part :

\[ t_k=-2(-8)^k. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} v_n &= -2 \sum_{k=0}^{n-1} (-8)^k\\ &= -2 \frac{ 1-(-8)^n }{ 1-(-8) }\\ &= -2 \frac{ 1-(-8)^n }{9}. \end{aligned} \]

Finalement :

\[ \boxed{ v_n = \frac29 \left( (-8)^n-1 \right). } \]

Expression de \(u_n\)

Comme :

\[ v_n=(-1)^nu_n, \]

on a :

\[ u_n=(-1)^nv_n. \]

Donc :

\[ u_n = \frac29 (-1)^n \left( (-8)^n-1 \right). \]

Or :

\[ (-1)^n(-8)^n = 8^n. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ u_n = \frac29 \left( 8^n-(-1)^n \right). } \]

Vérification sur les premiers termes : \[ u_0 = \frac29(1-1) = 0, \] \[ u_1 = \frac29(8+1) = 2, \] \[ u_2 = \frac29(64-1) = 14. \] La relation de récurrence donne également : \[ u_2 = 7u_1+8u_0 = 14. \]

3.b) Limite de \(\dfrac{u_n}{2^n}\)

À partir de :

\[ u_n = \frac29 \left( 8^n-(-1)^n \right), \]

on obtient :

\[ \begin{aligned} \frac{u_n}{2^n} &= \frac29 \left( \frac{8^n}{2^n} - \frac{(-1)^n}{2^n} \right)\\ &= \frac29 \left( 4^n - \left(-\frac12\right)^n \right). \end{aligned} \]

Or :

\[ 4^n\longrightarrow+\infty \]

et :

\[ \left(-\frac12\right)^n \longrightarrow0. \]

Donc :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{2^n} = +\infty. } \]

Réponse finale de l’exercice 33 : \[ \boxed{ S_n=2\cdot8^n } \] \[ \boxed{ t_n = (-1)^{n+1}S_n = -2(-8)^n } \] \[ \boxed{ v_n = \frac29 \left( (-8)^n-1 \right) } \] \[ \boxed{ u_n = \frac29 \left( 8^n-(-1)^n \right) } \] \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{2^n} = +\infty. } \]

Présentation :
Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 33 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice étudie une suite récurrente linéaire d’ordre deux à l’aide de suites auxiliaires géométriques et d’une somme télescopique.

Objectif pédagogique :
Apprendre à transformer une relation de récurrence d’ordre deux en relations plus simples. La méthode consiste à construire une première suite géométrique, puis à introduire un changement de signe permettant d’obtenir le terme général de la suite initiale.

Plan de résolution :

1. Étudier la suite \(S_n=u_{n+1}+u_n\).
2. Introduire la suite \(v_n=(-1)^nu_n\).
3. Étudier la différence \(t_n=v_{n+1}-v_n\).
4. Utiliser une somme télescopique pour déterminer \(v_n\).
5. En déduire l’expression explicite de \(u_n\).
6. Calculer la limite de \(\dfrac{u_n}{2^n}\).

Première transformation \[ S_n=u_{n+1}+u_n \] est géométrique de raison \(8\).

Deuxième transformation \[ v_n=(-1)^nu_n \] permet de faire apparaître une différence télescopique.

Terme général \[ u_n = \frac29 \left( 8^n-(-1)^n \right). \]

Comportement asymptotique Le terme \(8^n\) domine \((-1)^n\), donc : \[ \frac{u_n}{2^n} \longrightarrow+\infty. \]

À retenir :
La méthode suivie ici évite l’utilisation de l’équation caractéristique. Elle respecte le chemin proposé par le manuel : construire des suites auxiliaires simples, puis utiliser une somme télescopique pour retrouver le terme général de la suite initiale.

Ressources liées :

Retour au menu — Suites numériques Correction de l’exercice 32 Al Moufid — Exercices résolus

Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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